Podstawowe własności transformaty Laplace’a

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że transformata Laplace'a z rozważanych poniżej funkcji istnieje. Zgodnie z przyjętą konwencją niech \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) oznacza transfomatę Laplace'a funkcji \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

(1)

\( {\cal L}\big(c_1f_1(t)+c_2f_2(t)\big)(z) = c_1{\cal L}\big(f_1(t)\big)(z)+c_2 {\cal L}\big(f_2(t)\big)(z); \)

(2)

\( {\cal L}\big(f(\alpha t)\big)(z)= \dfrac 1{\alpha }F\big(\dfrac z{\alpha }\big); \)

(3)

\( {\cal L}\big(e^{\lambda t}f(t)\big)(z)= F(z-\lambda ); \)

(4)

\( {\cal L}\big(t^nf(t)\big)(z)= (-1)^n F^{(n)}(z ); \)

(5)

\( {\cal L}\big(f^{(n)}(t)\big)(z)= z^n F(z )-z^{n-1}f(0)-z^{n-2}f^\prime(0)- \ldots -zf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0); \)

(6)

\( {\cal L}\Big(\displaystyle\int_0^tf(\tau )d\tau \Big)(z)=\dfrac 1z {\cal L}\big(f(t )\big)(z). \)

Jeśli ponadto istnieje granica \( \hskip 0.3pc\displaystyle\lim\limits_{t\to 0}\Big( \dfrac {f(t)}t\Big),\hskip 0.3pc \) to

(7)

\( {\cal L}\Big(\dfrac {f(t)}t\Big)(z)= \displaystyle\int_z^{\infty}F(s)ds. \)

DOWÓD:

Ad.(1). Wynika z liniowości całki.

Ad.(2). Przyjmując \( \hskip 0.3pc \tau= \alpha t\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(\alpha t)dt =\dfrac 1{\alpha }\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-\tfrac z{\alpha }\tau }f(\tau )\,d\tau =\dfrac 1{\alpha }F\big(\dfrac z{\alpha }\big). \)

Ad.(3).

\( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{\lambda t}e^{-zt}f(t)dt = \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(z-\lambda )t}f(t)dt =F(z-\lambda ). \)

Ad.(4). Różniczkując transformatę \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) względem zmiennej \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( F^\prime(z)=-\displaystyle\int_0^{+\infty}te^{-zt}f( t)dt = -{\cal L}\big(tf(t)\big)(z) \)

i ogólnie

\( F^{(n)}(z)=(-1)^n\displaystyle\int_0^{+\infty}t^ne^{-zt}f( t)dt = (-1)^n{\cal L}\big(t^nf(t)\big)(z). \)

Ad.(5). Całkując przez części otrzymamy

\( {\cal L}\big(f^\prime(t)\big)(z) =\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f^\prime(t)dt = e^{-zt}f(t) \Big|_0^{+\infty} +z\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)dt=-f(0)+zF(z). \)

Podobnie dla \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \)

\( \begin{aligned}{\cal L}\big(f^{\prime\prime}(t)\big)(z)=&\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f^{\prime\prime}(t)dt = e^{-zt}f^\prime(t)\Big|_0^{\infty}+z\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f^\prime(t)dt=\\=&-f^\prime (0)+z\big(-f(0)+zF(z)\big)=-f^\prime(0)-zf(0)+z^2F(z).\end{aligned} \)

Korzystając z zasady indukcji matematycznej nietrudno pokazać, że formuła ( 5 ) jest prawdziwa dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n.\hskip 0.3pc \)

Ad.(6). Połóżmy

\( g(t)= \displaystyle\int_0^t f(\tau )d\tau . \)

Z teorii funkcji rzeczywistych wiadomo, że \( \hskip 0.3pc g^\prime(t)=f(t)\hskip 0.3pc \) prawie wszędzie (względem miary Lebesgue'a). Oczywiście \( \hskip 0.3pc g(0)=0.\hskip 0.3pc \) Stąd i własności ( 5 ) mamy

\( {\cal L} \big(f(t)\big)(z)= {\cal L} \big(g^\prime(t)\big)(z)= z{\cal L}\big(g(t)\big)(z), \)

skąd (6) wynika natychmiat.

Ad.(7). Połóżmy

\( g(t)= \dfrac {f(t)}t , \qquad t>0. \)

Niech \( \hskip 0.3pc G\hskip 0.3pc \) będzie transformatą Laplace'a z funkcji \( \hskip 0.3pc g.\hskip 0.3pc \) Wykorzystując własność ( 4 ) otrzymamy

\( F(z)= {\cal L}\big(f(t)\big)(z) = {\cal L}\big(tg(t)\big)(z) =-G^\prime(z). \)

Całkując ostatnią równość na przedziale \( \hskip 0.3pc [a,z]\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( G(z)=-\displaystyle\int_a^zF(s)ds + G(a). \)

Z uwagi 3 w module "Definicja przekształcenia Laplace'a" wynika, że

\( \displaystyle\lim_{\textrm{Re}\,z\to \infty}G(z)=0. \)

zatem

\( G(a)=\displaystyle\int_a^{+\infty}F(s)ds. \)

Stąd

\( G(z)=-\displaystyle\int_a^zF(s)ds +\displaystyle\int_a^{+\infty}F(s)ds= \displaystyle\int_z^{+\infty}F(s)ds. \)

Przykład 1:

Znaleść transformatą Laplace'a funkcji \( \hskip 0.3pc f(t)=\dfrac {\sin t}t,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t>0.\hskip 0.3pc \)

Zgodnie z własnością ( 7 ) mamy

\( {\cal L}\Big(\dfrac {\sin t}t\Big)(z)= \displaystyle\int_z^{+\infty}\dfrac{1}{1+s^2}ds =\textrm{arctg}\,s\Big|_z ^{+\infty}= \dfrac{\pi}2 -\textrm{arctg}\,z. \)

Przykład 2:

Wyznaczyć transformatą Laplace'a funkcji \( \hskip 0.3pc f(t)=t^{\alpha },\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \alpha \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \)

Podstawiając \( \hskip 0.3pc \tau =zt\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( {\cal L}\big(t^{\alpha }\big)(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\alpha }e^{-zt}dt=\dfrac 1z\displaystyle\int_0^{+\infty} \Big(\dfrac{\tau }z \Big)^{\alpha }e^{-\tau }d\tau =\dfrac 1{z^{\alpha +1}}\displaystyle\int_0^{+\infty} \tau ^{\alpha }e^{-\tau }d\tau =\dfrac{\Gamma (\alpha +1)}{z^{\alpha +1}}. \)

gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \Gamma\hskip 0.3pc \) oznacza tzw. funkcje Gamma daną wzorem

\( \Gamma (\alpha +1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\alpha }e^{-t}dt. \)

Zauważmy, że dla \( \hskip 0.3pc \alpha =n,\hskip 0.3pc \) zgodnie z przykładem 3 w module "Definicja przekształcenia Laplace'a" mamy

\( {\cal L}\big(t^{n}\big)(z)= \dfrac{n!}{z^{n +1}}. \)

Zatem

\( \Gamma (n +1)=n!. \)

Definicja 1:

Dla danych funkcji \( \hskip 0.3pc f,\,g :[0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) całkowalnych, splot funkcji \( \hskip 0.3pc f*g\hskip 0.3pc \) określony jest wzorem

\( (f*g)(t)=\displaystyle\int_0^tf(t-s)g(s)ds=\displaystyle\int_0^tf(s)g(t-s)ds. \)

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f,\, g :[0,+\infty )\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będą funkcjami dla których istnieją transformaty Laplace'a.

TEZA:

Wtedy transformata Laplace'a splotu tych funkcji wyraźa się wzorem

(8)

\( {\cal L}\big(f*g\big)(z)={\cal L}\big(f\big)(z)\cdot {\cal L}\big(g\big)(z). \)

DOWÓD:

Ponieważ

\( {\cal L}\big(f\big)(z)\cdot {\cal L}\big(g\big)(z)= \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt}f(t)dt\cdot \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zs}g(s)ds = \displaystyle\int_0^{+\infty}\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-z(s+t)}g(s)f(t)dsdt, \)

więc podstawiając \( \hskip 0.3pc \theta =s+t,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \tau =s,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc 0\leq \theta <+\infty,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc 0\leq \tau \leq\theta, \hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \begin{aligned}{\cal L}\big(f\big)(z)\cdot {\cal L}\big(g\big)(z)=& \displaystyle\int_0^{+\infty}\Big( \displaystyle \int_0^{\theta}e^{-z\theta }f(\theta -\tau )g(\tau )d\tau\Big)d\theta =\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-z\theta }\Big( \displaystyle\int_0^{\theta}f(\theta -\tau )g(\tau )d\tau\Big)d\theta= \\=& \displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-z\theta }(f*g)(\theta )d\theta = {\cal L}\big(f*g\big)(z).\end{aligned} \)

Uwaga 1:

Zauważmy, że zależność ( 8 ) pozostaje prawdziwy, jeśli splot funkcji określimy wzorem

\( (f*g)(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t-s)g(s)ds=\displaystyle\int_0^{+\infty}f(s)g(t-s)ds, \)

przy czym zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) na zbiorze \( \hskip 0.3pc (-\infty , 0)\hskip 0.3pc \) przyjmują wartość \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \)

Przykład 3:

Rozważmy funkcję Heaviside'a

\( H(t-t_0)=\begin{cases}0,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pc t<t_0;\\ 1,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pct\geq t_0.\end{cases} \)

Prosty rachunek daje

\( {\cal L}\big(H(t-t_0)\big)(z)= \displaystyle\int_{t_0}^{+\infty}e^{-zt}dt= \displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-z(\tau +t_0)}d\tau =e^{-zt_0}\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-z\tau }d\tau = \dfrac{e^{-zt_0}}z, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \tau =t+t_0.\hskip 0.3pc \) W szczególności

\( {\cal L}\big(H(t)\big)(z)=\dfrac 1z. \)

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc f:[0,+\infty)\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją posiadającą transformatę Laplace'a . Niech \( \hskip 0.3pc \alpha \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wówczas transformata Laplace'a przesunięcie argumentu oryginału wyraźa się wzorem

(9)

\( {\cal L}\big(H(t-\alpha )f(t-\alpha )\big)(z)= e^{-z\alpha }{\cal L}\big(f(t)\big)(z). \)

DOWÓD:

Istotnie,

\( \begin{aligned}{\cal L}\big(H(t-\alpha )f(t-\alpha )\big)(z)=&\displaystyle\int_{\alpha }^{+\infty}e^{-zt}f(t-\alpha )dt =\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-z(\tau +\alpha )}f(\tau )d\tau =\\=& e^{-z\alpha }\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-z\tau }f(\tau )d\tau =e^{-z\alpha }{\cal L}\big(f\big)(z),\end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \tau =t-\alpha. \hskip 0.3pc \)

Przykład 4:

Niech \( \hskip 0.3pc f(t)=e^{-2t}.\hskip 0.3pc \) Zgodnie z regułą przesunięcia argumentu mamy

\( {\cal L}\big(H(t-1)f(t-1)\big)(z)={\cal L}\big(H(t-1)e^{-2(t-1)}\big)(z)=e^{-z}{\cal L}\big(e^{-2t}\big)(z)=\dfrac{e^{-z}}{z+2}. \)

Przykład 5:

Znaleźć transformatę funkcji \( \hskip 0.3pc f(t)=t^2H(t-2).\hskip 0.3pc \)

Korzystając z równości \( \hskip 0.3pc t^2=(t-2)^2+4(t-2)+4,\hskip 0.3pc \) zależności ( 9 ) oraz przykładu 3 z modułu "Definicja przekształcenia Laplace'a" otrzymamy

\( {\cal L}\big(t^2H(t-2)\big)(z)= {\cal L}\Big( \big((t-2)^2+4(t-2)+4\big)H(t-2)\Big)(z) =e^{-2z}\Big(\dfrac 2{z^3}+\dfrac 4{z^2}+\dfrac 4z \Big). \)

Przykład 6:

Znaleźć transformatę funkcji

\( f(t)=\begin{cases}0,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pc t< 0;\\1,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pc 0\leq t<2;\\-3,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pc 2<t<3;\\t^2,& \textrm{jeśli}\hskip 0.3pc t\geq 3.\end{cases} \)

Korzystając z funkcji Heaviside'a oraz z równości \( \hskip 0.3pc t^2= (t-3)^2+6(t-3)+9,\hskip 0.3pc \) możemy funkcje \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) zapisać w postaci

\( \begin{aligned}f(t)=&H(t)-4H(t-2)+(3+t^2)H(t-3)=\\=&H(t)-4H(t-2)+12H(t-3)+6(t-3)H(t-3)+(t-3)^2H(t-3).\end{aligned} \)

Transformata Laplace'a ostatniej funkcji, zgodnie z powyższymi wzorami ma postać

\( {\cal L}\big(f(t)\big)(z)= \dfrac 1z- e^{-2z}\dfrac{4}z+e^{-3z}\Big(\dfrac {12}{z}+\dfrac 6{z^2}+\dfrac{2}{z^3}\Big). \)

Przykład 7: Transformata delty Diraca.

Niech \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \) oznacza \( \hskip 0.3pc \delta \hskip 0.3pc \)-Diraca. Zgodnie z definicją \( \hskip 0.3pc \delta\hskip 0.3pc \) i jej własnościami mamy

\( {\cal L}\big( \delta (t-t_0)\big)(z)= \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-zt} \delta (t-t_0)dt = e^{-zt_0}. \)

W szczególności

\( {\cal L}(\delta )(z)=1. \)

Zauważmy, że zgodnie z zależnością ( 5 ) dla \( \hskip 0.3pc n=1 \hskip 0.3pc \)

\( {\cal L}\big(H^\prime(t-t_0)\big)(z)=z{\cal L}\big(H(t-t_0)\big)(z) -H(0-t_0)= z\dfrac{e^{-zt_0}}z = e^{-zt_0}={\cal L}\big(\delta (t-t_0)\big). \)

Otrzymaliśmy zatem zależność

\( H^\prime(t-t_0)=\delta (t-t_0). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email: